Los Números Irracionales

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Hartman
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Bernardo Pascual ha planteado algunas cuestiones matemáticas. Voy a tratar de responderlas de la manera más llana posible.

1.       ¿Por qué se sabe que los números irracionales tienen infinitas cifras no periódicas?

2.       ¿Por qué se sabe que los números irracionales son infinitos?

3.       ¿No podría encontrarse el final del número π?

4.       Es de imaginar que una sucesión infinita de números tarde o temprano tiene que acabar repitiendo un patrón, de no repetirse ya supone un patrón.

Y, de paso, como estamos en un foro de historia, poner de relieve el impacto que tuvieron los números irracionales en la historia.

 

¿Por qué los números irracionales tienen infinitas cifras no periódicas?

 

Los números tienen una naturaleza dual. Para estos casos nos vamos a quedar con la naturaleza cardinal: “Los números representan la cantidad de algo”.

 

Eratóstenes y las Fracciones Irreductibles

Las cantidades pueden ser enteras o pueden representarse como la razón (cociente) entre dos números. Así tenemos “tres cuartos”, “un quinto”, etc.

Un problema aparentemente menor es que entonces, podemos representar la misma cantidad de infinitas formas distintas, por ejemplo, dos es ocho cuartos, diez quintos, seis tercios… etc. Podemos imaginar infinitos numeradores y encontrar el denominador adecuado para representar el mismo número.

Eratóstenes demostró que existen números “primos” es decir, que no son divisibles más que por sí mismos y por la unidad y, de paso, que cualquier número “no primo” puede ser descompuesto en una cantidad de números primos que, multiplicados, dan ese número (factorización).

Eratóstenes fue un poco más allá, demostró que la factorización es única, es decir, si tomamos exclusivamente los números primos que forman un número dado, estos no pueden ser reemplazados por otros números primos.

Con esto resolvió el problemita de más arriba, si tengo la razón entre dos números, factorizo el numerador y el denominador y simplifico los factores comunes a ambos, entonces reduzco dicho cociente a una expresión mínima e invariable.

Este proceso se llama “simplificación”.

Cuando simplifico pueden pasar dos cosas, que el numerador resulte un número entero y el denominador el número 1, en cuyo caso se trató todo el tiempo de un número entero disfrazado (por ejemplo dieciséis octavos, es dos) o bien que en el numerador queden todos números primos diferentes del denominador, en cuyo caso tenemos una Fracción Irreductible.

 

Ahora bien, que una fracción sea irreductible, significa que no hay manera de hacer el cociente sin que aparezcan infinitas cifras decimales (porque numerador y denominador son primos) pero estas cifras tienden a repetirse según un patrón, que recibe el nombre de período.

Por ejemplo 1/3 = 0,3333, el 3 es “periódico”

1/7 = 0,142758142758… el 142758 es “periódico”

Y así siguiendo

 

Los pitagóricos trabajaron extensamente con esto, ya que concebían el Universo como una serie de relaciones armoniosas y puras. Esto de puras es lo que más tarde tomaría Platón… el mundo real es imperfecto, nuestros sentidos nos engañan, sólo podemos tomar como ciertas y confiables nuestras ideas abstractas y ¿qué hay más puro y abstracto que el concepto de número?... Así que en las raíces de Platón hay un Pitágoras escondido.

Como toda cantidad puede ser expresada como la razón (cociente) entre dos números, encontrar la explicación a un hecho complejo como la relación entre dos hechos conocidos (lo que hoy llamaríamos teorema, silogismo o deducción) lo llamaron razonar y las cuestiones comprensibles o accesibles intelectualmente (único modo de conocimiento real, según ellos) fueron llamadas “cuestiones razonables”.

Los Pitagóricos abordaron la investigación del Universo en forma de razones matemáticas, de allí el término “racional” y descubrieron entre otras cosas la serie armónica.

Armónica es una serie de números inversos, es decir 1/1, ½, 1/3, etc. es la armónica de los números naturales (también se puede hacer la armónica de los cuadrados, de los primos, etc. etc.) Si se construye una lira o arpa con cuerdas cuya longitud sigue la armónica natural, al tañer obtenemos un sonido agradable. Esos sonidos se los llama actualmente “armónicos” y su estudio en música se llama “armonía”. Que toda una orquesta suene de forma agradable depende en grado sumo de las armonías que se consigan, así que una obra orquestal importante recibe el nombre de Sinfonía (“Armonía”, en griego).

 

Nacimiento del Álgebra

Ahora bien,  lo de “infinitas cifras”, aunque sean periódicas, implica una dificultad tremenda de cálculo. Esta dificultad fue resuelta magistralmente por los árabes:

Si una fracción es irreductible, en vez de pelarte la frente haciendo la cuenta, la dejas expresada como un “quebrado”, tal vez, más adelante, en el cálculo aparezca un número que puedas simplificar con el denominador y resolver la fracción sin tanto esfuerzo (o, al menos, harás el esfuerzo una vez y no un montón).

Este es un gran aporte Árabe, la ciencia de El Quebrado, “el” en árabe se dice Al, y los árabes no pronuncian consonantes fuertes al inicio de la palabra, así que El Quebrado se dice Álgebra(do).

Así tenemos nuestro Universo resuelto por números enteros o una relación entre un par de ellos.

Si me encuentro con un número de infinitas cifras decimales, y estas se repiten siguiendo una secuencia fija, puedo concluir que estoy ante el resultado de dividir una fracción irreductible. Por lo tanto, si analizo el período, podré encontrar un denominador tal que, si multiplico ese número de infinitas cifras, obtendré un numerador entero (es decir de una cantidad finita de cifras) recomponiendo el quebrado.

Por ejemplo, si me enfrento al 13,285714… puedo reconstruir que la fracción era 93/7.

Esto me permite trabajar con una relación de números enteros y resolver la Armonía del Universo con toda elegancia.

 

La Raíz de dos y el fin de la Armonía

El famoso Teorema de Pitágoras demuestra sin lugar a dudas que la diagonal de un cuadrado cuyo lado vale 1, mide √2.

¿Y cuánto mide la raíz cuadrada de 2?

 

Siguiendo a los pitagóricos (que fueron los que la encontraron, así que fueron los que primero atacaron el problema) podemos suponer que, siendo una medida que existe, es “razonable” o sea, la puedo expresar como el cociente de dos números enteros, primos entre sí.

Para evitar girar en círculos ociosos, esta fracción la simplifico hasta ser irreductible.

Así que mi problema es encontrar a y b tales que a/b = √2

Entonces a2/b2 = 2

Lo que es lo mismo que a2 = 2 b2

O sea que a2 es un número par. Los cuadrados de números pares son pares y los cuadrados de números impares son impares, así que a es un número par.

Si a es par, puedo expresarlo como a = 2p

Y reescribir a2 = 2 b2 como (2p)2 = 2 b2

O lo que es lo mismo 4 p2 = 2 b2

Simplificando 2 p2 = b2

Así que b es un número par, por lo mismo que escribí más arriba.

Con lo que tenemos que los números primos a y b son ambos pares, o sea comparten un factor, es decir, no son primos…

Así que la raíz cuadrada de dos sólo puede ser el resultado de la división de dos números primos que no son primos.

Este argumento se llama reducción al absurdo (por razones obvias) y demuestra que la raíz cuadrada de… cualquier número primo en realidad, no puede ser expresada como razón de dos números enteros: es irracional.

 

Tal fue la consternación de los pitagóricos que, así como habían extendido el sentido de “racional”, “razonable”, “razonamiento” de la división de dos números al campo de todo el pensamiento, también extendieron el sentido de “irracional”. Aquello que desafía la lógica, que no tiene explicación en el puro Universo de las Ideas.

Porque la diagonal del cuadrado existe, lo que no pudieron fue abstraer su idea…

Entonces si encuentro un número con cifras que se repiten formando un período, puedo afirmar que es resultado de un cociente, es decir, es un número racional, reciprocamente todo número de infinitas cifras decimales no periódicas, no es racional.

 

Así que respondiendo a la pregunta

¿Por qué se sabe que los números irracionales tienen infinitas cifras no periódicas?

Porque en caso contrario sería un número racional.

 

¿Cuántos Ángeles Pueden Bailar en la Cabeza de un Alfiler?

Esta podría ser perfectamente la segunda pregunta.

Usualmente para entender conceptos aritméticos se utiliza una línea. Cada punto (ideal, sin dimensiones) de la línea corresponde a un número, puntos marcados a distancias iguales son los números enteros, equivalen a la operación de medir

 La recta numérica

 

Así cada punto podemos decir que es 1, 2, 3,…

Pero la línea no tiene agujeros

Lo que concluyeron los Pitagóricos es que entre dos enteros consecutivos, digamos entre 1 y 2, hay números racionales, que ocupan los puntos que hay entre ambos.

¿Cuántos puntos?

Pues… ¿cuántos numeradores puedes imaginar?... infinitos

Ahora, sólo basta encontrar denominadores para cada uno de esos infinitos numeradores, tales que el resultado esté entre 1 y 2.

Este tipo de juegos era el que le gustaba a Georg Kantor, quien descubrió que no hay infinito, sino infinitos.

A ver, los números naturales son infinitos, pero entre dos naturales consecutivos puedo encontrar infinitos números racionales, así que los racionales “son más” que los naturales, digamos que son inifinitas veces infinito… Eso es lo que Kantor llamó “doblemente infinito” o infinito de grado dos. No se preocupen si les cuesta entenderlo, Kantor desarrolló toda la Teoría de Conjuntos, con infinitos de orden N y terminó en un manicomio… Así que cuando alguien les diga que ser matemático es una tranquila profesión para estar sentado a un escritorio, recuerden, puede ser una profesión de riesgo (ahí tienen a John Nash, matemático, Nobel de Economía, paranoico esquizoide y unos cuantos más que dan pie a eso de que el genio es primo hermano de la locura).

¿Cómo salté de Pitágoras a Kantor? Ambos tienen una arista en común, no numérica. Pitágoras erigió una religión en base a sus desarrollos matemáticos. Kantor mientras desarrollaba la Teoría de Conjuntos concluyó que había una equivalencia entre demostrar el conjunto de los infinitos posibles (o sea, un infinito de grado infinito) y demostrar la existencia de Dios.

Bertrand Russell, filósofo que se metió en cuestiones matemáticas, quiso demostrar que Kantor estaba del gorro al afirmar esto, e inventó su famosa paradoja:

Dios lo puede todo

Dios puede crear una piedra que nadie pueda levantar

Si nadie puede levantar esa piedra, entonces Dios tampoco puede

Así que Dios no lo puede todo, porque, o no puede levantar la piedra o no puede crearla.

Esta paradoja, con distintas formulaciones está en muchos libros matemáticos y filosóficos, implica dos cosas, Dios no existe, la Teoría de Conjuntos no sirve.

Pero Gödel planteo un par de “intuiciones” de completitud que pueden resumirse en: “Ningún sistema Axiomático es Completo”

¿Qué corchos quiere decir?

Los sistemas matemáticos (Pitágoras, Teoría de Conjuntos, etc.) explican todo el universo a su alcance a partir de una serie de postulados (o axiomas). Si intento deducir todo, finalmente caeré en contradicción.

Cuando Gödel presentó sus intuiciones los matemáticos quedaron pasmados. Cuatro mil años de desarrollo tenían un techo de crecimiento. Entre los asistentes había un joven doctor en matemáticas e ingeniero químico, Johan (John) von Neuman, quien las resolvió en dos días. Hoy se conocen como Teoremas de Gödel (Goedel) pero la solución es debida a von Neuman, quien determinó que la Teoría de Conjuntos sirve pero, según la planteemos puede exigir la existencia del Infinito de orden infinito, o puede ser incompatible con él.

Más sencillo: El desarrollo de Kantor puede plantearse de modo que demuestre la necesidad de la existencia de Dios o bien que demuestre que podemos prescindir de Él para nuestos desarrollos. En resumen, estamos como siempre en cuestiones de religión, la matemática no ayuda, uno elige.

 

¿Por qué se sabe que los números irracionales son infinitos?

Volviendo a nuestros “armoniosos” racionales, el hecho de que haya infinitos racionales entre dos naturales sucesivos se define como “conjunto compacto” pero compacto puede ser un ladrillo o una bolsa de arena, veamos

 

 

Tomo la recta numérica, armo un cuadrado de una unidad de lado, trazo su diagonal y la proyecto sobre la recta numérica.

Esta proyección es la raíz de dos, que no pertenece al “armonioso” y “compacto” conjunto de los racionales, así que nuestra recta numérica… ¡tiene agujeros!

 

¿Cuántos números racionales hay entre 1 y 4?

La raíz cuadrada de un número mayor que 1 es mayor que 1 y si es menor que cuatro, su raíz es menor que dos.

Entre dos enteros consecutivos (por ejemplo 1 y 2) hay infinitos números racionales, pero es evidente que entre 1 y 4 tiene que haber  tres veces más.

Si considero todos los números racionales entre 1 y 4 y elimino de la lista todos aquellos que son iguales al cuadrado de un número racional entre 1 y 2, todavía me quedan dos veces más números racionales que los que hay en el intervalo 1,2.

La raíz cuadrada de todos esos números no es racional.

O sea, si defino la recta numérica como el lugar donde se representan todos los números racionales, dicha recta tiene más agujeros que puntos dibujados.

Los agujeros (en matemáticas se utiliza el término “cortadura”) son los números irracionales. Que existen, es evidente, ya que no levantamos el lápiz cuando dibujamos la recta.

 

Así que la respuesta a ¿Por qué se sabe que los números irracionales son infinitos? Es

Porque cuando dibujo, no levanto el lápiz

 

PI

Brrrr….

De esto no hay una demostración fácil, pero voy a mostrarles un poco la complejidad del problema, algo así como invitarlos a la cúpula de un quirófano – escuela, dónde uno se asoma al trabajo de un neurocirujano.

 

Límite

Existen cálculos en matemáticas que, aparentemente no pueden hacerse, o son infinitamente largos, sin embargo la función se acerca a un valor preciso, determinado.

Como en las cuestiones que tuvimos con Bernardo surgió el número de oro,φ, entonces uso ese número como ejemplo.

φ  surge de los trabajos de Leonardo Fibonacci sobre los conejos.

Tengo un conejo, luego otro, entre los dos, tienen cría, así que vendo el más viejo y pongo los más jóvenes a producir. Obtengo entonces la “sucesión de Fibonacci” (la clave para abrir la bóveda suiza en El Código Da Vinci).

 

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34…

 

Es una sucesión, así que la prolongo mientras tenga jaulones para contener los conejos, nadie me dice cuándo parar.

 

Si hago el cociente entre un número de Fibonacci y el anterior obtengo

 

1; 2; 1,5; 1,6666; 1,6; 1,625; 1,615

 

¿Lo reconocen?

 

Sí, es el número de oro. Me voy aproximando sucesivamente desde arriba y desde abajo. Como pueden ver, estoy haciendo cocientes y, por lo que hablamos más arriba, el número de oro  φ = (1+√5)/2 es irracional (contiene la raíz de cinco, que es primo, así que le puedo aplicar la misma demostración que a la raíz dos), así que nunca voy a llegar a Phi, pero el límite entre la sucesión superior y la sucesión inferior (la cortadura ¿se acuerdan?) es precisamente Phi.

 

Otro límite famoso es e (base de los logaritmos naturales)

 

e= 1 + 1/1! + 1/2! +1/3! + …

 

Esta sucesión tiene infinitos números, todos mayores que cero, sin embargo el número es 2,71828182…

 

Veamos ahora una sucesión armada en base a Pi.

 

Tomemos el semicírculo negro. Su longitud, como sabemos de la primaria, es ∏ r.

Ahora divido el radio a la mitad y duplico. Obtengo la curva roja, que mide 2 ∏ r/2, es decir ∏r.

Vuelvo a dividir, y sigo obteniendo lo mismo, la curva que abarca todo el diámetro, hecha a fuerza de semicircunferencias, siempre mide ∏ r.

 

Es decir, la función n ∏ r/n (n semicircunferencias alineadas cubriendo el diámetro de una semicircunferencia de radio r) da siempre ∏ r.

Habiendo construido la función, pasemos al límite.

 

Si la función n ∏ r/n es п r, para todo n, el límite para n tendiendo a infinito será ∏ r, simple, ya que n figura en el numerador y denominador, lo simplifico y liquidé la cuestión.

 

Pero si n es tan grande que es infinito, cada una de esas semicircunferencias es un punto, así que lo que estoy dibujando es el diámetro de la semicircunferencia grande. Y el diámetro es 2r. Así que ∏, según nuestro brillante cálculo, vale 2.

 

¿Qué hicimos mal?

 

Pues asumir que la longitud es una función que se comporta con respecto al límite de una manera “aritméticamente correcta”.

La longitud de una curva es la integral de la raíz cuadrada de la derivada de la función que describe la curva, elevada al cuadrado.

A ver, f(x) es la función de la curva cuya longitud quiero hallar

f’(x) es la derivada de dicha función, por definición es un límite

la raíz cuadrada es un límite

La integral es un límite

 

Así que la longitud de una curva cualquiera es el límite, del límite, del límite de la función.

 

¿Sencillo no?

 

Basta con poner un radio igual a 1 y obtener el límite, del límite, del límite de circunferencias sucesivas para obtener Pi, pero ya vimos que el método fracasa estrepitosamente.

 

Es que Pi, no sólo es irracional, Pi es trascendente.

 

Los Números Trascendentes.

No, no vuelvo a la carga con un delirio místico hermanando los números con la transmigración de las almas. Es bastante más pedestre.

Existen números que pueden obtenerse por una cantidad finita de operaciones algebraicas, son funciones algebraicas, que dan resultados numéricos.

Existen números que no pueden obtenerse por una cantidad finita de operaciones algebraicas, así que no pertenecen al dominio del álgebra, trascienden dicho dominio, por eso el nombre de trascendentes.

 

Así que, para la tercera pregunta, pido que se me excuse, ya que no tiene nada, pero nada que ver con un foro de historia (a menos que vayamos por un tratado de historia de las matemáticas) y es no complicado, ¡¡¡¡es infumable!!!!.

 

Simplemente, a modo de resumen, a la pregunta ¿no podría encontrar el final del número Pi? La respuesta es: No sólo no puedo encontrar la cifra final, no puedo encontrar la operación matemática final para obtener esa cifra final.

 

Patrones de Repetición.

La última cuestión es que dado un número suficientemente grande de cifras, tarde o temprano ha de repetirse un patrón. Si no es así, eso ya constituye un patrón.

 

La respuesta es, sí. Dado un número suficientemente grande de cifras obtenemos algo reconocible. Pero eso no es un patrón de repetición de cifras, sino el paquete completo (Phi, Pi, e, logaritmos, etc. etc.). Eso es el patrón reconocible, el paquete completo. Es casi, casi, como los cristales de nieve. Es fácilmente reconocible un patrón hexagonal, pero no hay dos iguales, por lo que no puedo pronosticar, estudiando una serie de cristales, cuál va a ser la forma del próximo cristal.

De la misma manera, no puedo pronosticar el siguiente paquete de cifras que va a aparecer en el cálculo de Pi, por el análisis de las cifras que ya aparecieron.

 

Y con esto doy por terminado el tochopost.

Espero no haber sido demasiado pesado.

 

Saludos

 


Todavía no he empezado a pelear

  200-cruz  200-cruz 

Bernardo Pascual
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Desde: 22 Ene 2016

 Muchísimas gracias, Hartman. Está muy bien escrito y me aclara muchas cosas, aunque para entenderlo del todo me temo que voy a tener que leerlo unas cuantas infinitas veces más.

Me fascina sobre todo la magia que encierra. Ahora, sin embargo, me arrepiento de haberme decantado tan pronto por la rama de letras. Con lo de las derivadas e integrales me pierdo. Tal vez pudieras añadir, si no es mucho pedir, una bibliografía sencillita y amena, para iniciarse en el tema.

¿Tiene algún nombre el número o la constante que resulta de dividir un cuadrado entre el círculo inscrito en él? ¿Posee alguna utilidad? ¿Se puede deducir de algún otro modo, es decir, sin recurrir previamente a π?

 


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merlin-satan
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Bernardo, si te refieres al área, el valor es 4/π.

LxL/πxRxR siendo L=2xR.

Si te refieres al perímetro sería el mismo resultado, 4/π.

4xL/2πR=4/π ya que L=2R

Sí, es el mismo valor!

Al resto de tu pregunta mejor dejo responder a Hartman...

 


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Bernardo Pascual
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Guardia Pretoriano
Desde: 22 Ene 2016

 Tienes razón, Merlín, la pregunta es una tontería. Ese número sale de Pi.

 

Hartman ha escrito

 

Pero si n es tan grande que es infinito, cada una de esas semicircunferencias es un punto, así que lo que estoy dibujando es el diámetro de la semicircunferencia grande. Y el diámetro es 2r. Así que ∏, según nuestro brillante cálculo, vale 2.

 

 Pero una circunferencia no puede contener un solo punto ¿no? Si se reduce a un punto deja de ser una circunferencia. Entonces ya no es más que eso, un punto en una recta de longitud 2r. Ese mismo punto, en todo caso, en el arco equivalente a esa longitud de recta habría que multiplicarlo por π/2. Es decir, harían falta al menos 1´5708… puntos para seguir considerándola una semicircunferencia.

¿Por qué la relación entre el perímetro y el radio no se puede deducir igual que se deduce la diagonal del rectángulo? ¿Cómo consiguen entonces ir añadiendo cada vez más decimales a Pi?  No me puedo creer que lo hagan girando una rueda sobre una regla.

 


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merlin-satan
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Bernardo Pascual ha escrito

 Tienes razón, Merlín, la pregunta es una tontería. Ese número sale de Pi.

 

Hartman ha escrito

 

Pero si n es tan grande que es infinito, cada una de esas semicircunferencias es un punto, así que lo que estoy dibujando es el diámetro de la semicircunferencia grande. Y el diámetro es 2r. Así que ∏, según nuestro brillante cálculo, vale 2.

 

 Pero una circunferencia no puede contener un solo punto ¿no? Si se reduce a un punto deja de ser una circunferencia. Entonces ya no es más que eso, un punto en una recta de longitud 2r. Ese mismo punto, en todo caso, en el arco equivalente a esa longitud de recta habría que multiplicarlo por π/2. Es decir, harían falta al menos 1´5708… puntos para seguir considerándola una semicircunferencia.

¿Por qué la relación entre el perímetro y el radio no se puede deducir igual que se deduce la diagonal del rectángulo? ¿Cómo consiguen entonces ir añadiendo cada vez más decimales a Pi?  No me puedo creer que lo hagan girando una rueda sobre una regla.

Por partes:

Una circunferencia no puede ser reducida a un punto porque una circunferencia no es más que una recta curvada. Y una recta son... ¡infinitos puntos!

Es la gracia del ocho tumbado...

La relación entre el perímetro y el radio es función de PI porque una circunferencia es una recta de infinitos puntos girando 360º. O más difícil todavía, en realidad una circunferencia, o un círculo, es un polígono de infinitos lados que forman un ángulo cercano a 0º entre dos rectas contiguas.

Para demostrarte que no miento, abre el programa de dibujo que tienes en el PC y dibuja un círculo, si te fijas bien (haz mucho zoom) veras que en la pantalla son muchas mini rectas que vistas de lejos hacen ver una circunferencia.

En un cuadrado el perímetro te lo da la suma de 4 lados, muy simple y visual, no? El área es el lado al cuadrado, sencillo también. En cambio en la circunferencia necesitas un elemento con infinitos decimales para poder incluir "el concepto" de infinitas rectas, por eso necesitas al amigo PI.

Para sacar infinitos decimales de PI sólo tienes que dividir y seguir dividiendo como en el colegio añadiendo decimales. Si tomas una recta de un metro, la conviertes en una circunferencia y mides el diámetro ya sabes que la relación entre la longitud (1 metro) y el diáetreo medido es PI. Pues nada, a dividir hasta la muerte...

Evidentemente eso hoy en día lo hace un súper ordenador como Multivac

 


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Bernardo Pascual
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Desde: 22 Ene 2016

merlin-satan ha escrito

 

En un cuadrado el perímetro te lo da la suma de 4 lados, muy simple y visual, no? El área es el lado al cuadrado, sencillo también. En cambio en la circunferencia necesitas un elemento con infinitos decimales para poder incluir "el concepto" de infinitas rectas, por eso necesitas al amigo PI.

 Hasta ahí, más o menos bien. Te sigo.

merlin-satan ha escrito

Para sacar infinitos decimales de PI sólo tienes que dividir y seguir dividiendo como en el colegio añadiendo decimales. Si tomas una recta de un metro, la conviertes en una circunferencia y mides el diámetro ya sabes que la relación entre la longitud (1 metro) y el diáetreo medido es PI. Pues nada, a dividir hasta la muerte...

 

 ¿Pero qué divides? Para conocer o bien el diámetro o bien el perímetro necesitas Pi, con todos su decimales. No se si me explico. Si Pi fuese igual a tres catorce, una circunferencia con un radio de 50 tendría un diámetro de 314 clavado. Acepto que sabes que tiene que haber más decimales, hasta infinito, de acuerdo, ¿pero qué operación concreta realizas para sacar el siguiente?

Según me ha parecido entender a Hartman, no existe esa operación. De ahí que se trate de un número trascendente.

 


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merlin-satan
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Lo que te propongo es algo más empírico.

Tomas una cuerda de un metro y haces un círculo perfecto con ella. Mides el diámetro.

La relación entre 1m y D es PI, no? Divides 1/D y el resultado es 3,14159265... (no me sé más). Si haces la división como en el colegio, si recuerdas, vas añadiendo ceros a la derecha del dividendo porque el resto nunca te da cero. bajas el cero para ponerlo a la derecha del resto y vuelves a dividir. Y para seguir añadiendo decimales sigues añadiendo ceros y sigues cuál hamster corriendo en rueda, hasta el infinito y más allá!

 


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Hartman
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Hola amigos

Lo que puede surgir en un foro de Historia... :)

 

Primero:

Paso al Límite.

A la pregunta de por qué al aumentar "n" y dividir el radio de la circunferencia llego a un punto que, como correctamente dijeron, no es una circunferencia, la respuesta es el paso al límite.

Es un concepto espinoso, uno de los que más cuesta adquirir en el primer curso de Análisis Matemático. Así que no se depriman, más de un ingeniero ha tenido suspensoS por eso.

Vamos a un ejemplo de la Antigua Grecia

 

La Paradoja de Zenon.

Zenon era un filósofo que negaba la posibilidad del conocimiento directo, planteó preguntas clásicas como Si un árbol cae en el desierto ¿hace ruido?.

Su planteo era que llegar al final era imposible, porque antes hay que conocer las partes, lo cual lleva a una regresión infinita, con infinito tiempo, es decir, un imposible.

Para ilustrar su posición creó la siguiente paradoja, llamada "Aquiles y la tortuga"

Aquiles, el de los pies ligeros, es capaz de dar 100 pasos en el tiempo que la pobre tortuga sólo da uno, por lo que se burlaba acremente de ella. Entonces la tortuga le dijo:

-Tú te burlas, pero si me das 100 pasos de distancia, no tienes forma de vencerme.

-¿A no? -respondió Aquiles- no te doy 100, te doy 1.000 pasos de ventaja.

Y así se hizo la competencia.

Cuando Aquiles hizo esos 1.000 pasos, la tortuga había hecho 10, cuando Aquiles hizo 10 pasos, la tortuga había hecho 0,1 y así, por más que Aquiles se acercaba, nunca alcanzó a la tortuga

 

Puedo hacer alarde de matemáticas y mostrar un paso al límite, pero en vez de eso, simplemente piensen ¿dónde quedó la tortuga cuando Aquiles dió el paso 1.011? Exacto, atrás.

Este es el salto conceptual, no es que "nunca" se llega sino "no se llega antes de..." un cierto límite.

Existe un valor, muy difícil de calcular, que es el momento exacto en el que Aquiles pasa la tortuga, que es el paso 1.0010,01001001.... pero los pasos son números enteros, la fracción es una abstracción.

En lenguaje matemático, "dada una función pasos-de-Aquiles, definida en el campo de los enteros, no existe el valor paso-individual tal que Aquiles y la tortuga estén en el mismo lugar"

Sin embargo, ustedes miran la carrera y los ven igualados. El movimiento es un continuo, así que estuvieron igualados ... fuera del campo de definición de la función.

 

O sea, el límite puede ser un valor de la función, o un valor fuera de su campo de definición.

Si la función existe en un punto

Si el límite existe en ese punto

Si la función es igual a su límite

Entonces, es una función continua. ¿Qué quiere decir? que si la quiero dibujar no tengo que levantar el lápiz en ese punto.

 

Veamos otro viejo conocido.

La serie armónica

La serie de longitudes de las cuerdas para producir melodías armoniosas era:


1, 1/2, 1/3, 1/4, ... , 1/n

 

Es evidente que la cuerda se va acortando a medida que voy incrementando "n" ¿cuál es el valor límite? ¿cuánto medirá una cuerda cortada en infinitos pedacitos? Obvio, lógico y evidente. Cero.

Pero hay dos problemas. Primero "Infinito" no es un número ¿qué es entonces? "Es un número suficientemente grande como para considerarlo inalcanzable". Esto nos da algo más manejable que el metafísico "infinito", por ejemplo, si la cuerda original mide un metro, puedo hacer n=100 y tener cuerdas de 1 cm. 100 no es inalcanzable ni imposible de manejar ¿y 100.000? ¿cómo parto una cuerda de 1m en 100.000 pedazos iguales? Entonces puedo afirmar que, para los efectos de este ejercicio cualquier número mayor que 100.000 es infinito. ¿y cuánto mide el pedazo de cuerda que puedo cortar?... pues cero. Pero si mide cero no es una cuerda... (segundo problema)

Y este es el concepto de límite, un valor que puede o no pertenecer a la función, pero implica una "cortadura" en los valores que se pueden alcanzar. Puedo acercarme todo lo que quiera al valor límite, pero nada me garantiza que lo alcance.

¿Recuerdan la sucesión de Fibonacci? Si divido dos términos consecutivos voy obteniendo valores cada vez más cercanos a Phi. No puedo alcanzar Phi, porque mi función está definida para los racionales y Phi es irracional, Phi es la frontera entre la sucesión superior y la inferior, es "el límite", el valor que debería tener la función para no levantar el lápiz (ser contínua) pero no lo alcanza nunca.

En estos dos casos, el límite no pertenece al campo de definición (dominio) de la función. Es como los países con "costa seca", su frontera es la playa, pero como no tienen mar territorial, el agua no les pertenece. El agua es el límite.

 

Volvamos a Zenon

Otra forma de ilustrar su posición era decir que, si lanzo una piedra, antes de llegar a su objetivo debe recorrer la mitad del camino, luego la mitad de lo que queda, y la mitad y la mitad... por lo que no llega nunca a su objetivo.

Hay dos formas de refutar a Zenon

  1. Tirarle una piedra a la cabeza. El dolor le informará que se equivocó.
  2. Calcular el límite

Si llamo T al tiempo necesario para recorrer la mitad del camino

Luego de T, necesita T/2 para la mitad de lo que queda

luego T/4 para la siguiente mitad... y así

Si sumo todos los tiempos tengo x = Sumatoria de los infinitos intervalos que necesita recorrer la piedra = T/20 + T/21 + T/22 +...

x = T/20 + T/21 + T/22 +...+T/2n

x/2 = T/21 + T/22 + T/23+...+T/2n+1

Restando

x - x/2 = T/2- T/2n+1

x = (T - T/2n+1) / (1 - 1/2) = 2 (T - T/2n+1)

Si hacen memoria, esto lo conocen de la primaria (Fórmula para calcular cuanto da la suma de una serie de potencias, en este caso, la razón es 1/2)

Ahora, paso al límite.

En el límite cuando n tiende a infinito (nótese la sutileza, n no es infinito, infinito no es un número, n tiende, es decir, se acerca tanto como me de la gana)

T / 2n+1 tiende a cero (de nuevo, no es cero, pero me acerco tanto como me da la gana)

El cero no forma parte de la sucesión, pero es su límite. Con lo que resulta

x = 2 (T - 0) = 2 T

Como T es el tiempo para que la piedra recorra la mitad del camino, esto quiere decir que, en el doble del tiempo necesario para hacer la mitad del camino, Zenon recibirá una pedrada.


Bueno, espero que ahora les resulte un poco menos indigesto lo que hice con Pi.

Tomé una semicircunferencia de radio R.

El diámetro mide 2R

Su longitud es Pi x R

Dividí el radio por enteros sucesivamente más grandes y añadí semicircunferencias. Tantas como el divisor del radio.

La longitud de esa curva es L = n Pi R / n

Antes de pasar al límite, sufro la tentación de simplificar y me queda

L = Pi R

lo cuál en rigor es válido para todo n

Pero en el límite...

El límite no tiene por qué formar parte de la función.

Es la frontera, tierra de nadie, se comporta según sus propias leyes.

En el límite, cuando n tiende a infinito, R/n tiende a cero. Una circunferencia de radio cero es un punto (un punto matemático, un ente sin dimensiones). Y la sucesión de puntos sobre el diámetro es... el diámetro. 2 R.

O sea, que no les pase lo de Zenón, antes de pensar "matemáticamente" como puede ser posible que siempre daba Pi R y de repente da 2 R, miremos qué pasa "en la realidad".

Aquiles pasa a la Tortuga

La piedra nos da en la cabeza

El diámetro mide 2 radios

Si nuestro modelo matemático dice que eso es imposible, lo equivocado no es la realidad, es el modelo.

 

Filosofos de mucho renombre han pasado por alto esta minucia...

 


Todavía no he empezado a pelear

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El cálculo de Pi

 

Como puse en el primer post, Pi entraña varios problemas, bastante densos, así que ¡Lasciati ogni speranza voi che entrate!

 

Series infinitas

Ya vimos lo que es una sucesión infinita

Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... mientras haya conejos...

Nadie dice que la sucesión deben ser números aislados, de hecho, cada número de Fibonacci es la suma de los dos anteriores.

También vimos una sucesión más complicada, la sucesión de divisiones entre dos números de Fibonacci, que daba por resultado Phi.

En particular fíjense en este.

Yo se que Phi es inalcanzable por medio de cocientes, pero los sucesivos cocientes dan:

1  
1 1
2 2
3 1.5
5 1.666666666
8 1.6
13 1.625
21 1.615384615
34 1.619047619
55 1.617647059
89 1.618181818
144 1.617977528
233 1.618055556
377 1.618025751
610 1.618037135
987 1.618032787
1597 1.618034448
2584 1.618033813
4181 1.618034056
6765 1.618033963
10946 1.618033999
17711 1.618033985
28657 1.618033990
46368 1.618033988
75025 1.618033989
121393 1.618033989

Fíjense que, a medida que avanzamos, las primeras cifras de cada número no cambian, y voy acercándome al 1.618033989, que son las primeras cifras de Phi.

Así que, si bien nunca voy a obtener el valor exacto de Phi, porque estoy haciendo cocientes (racionales) y Phi es irracional, puedo acercarme tanto que, a los efectos prácticos nadie se dará cuenta.

 

Por allá, el el s XVIII, no había televisión, así que un matemático aburrido dijo

"He aquí un método para aproximar cualquier función por medio de un polinomio"

Y lanzó un teorema tan críptico que tardaron casi 30 años en poder entenderlo.

Si les gusta la matemática, adelante, busquen las Series de Taylor y McLaurin, yo voy a tratar de explicarlas en forma conceptual, con tecito de manzanilla, para que sean más digeribles.

Taylor demostró que un polinomio particular, cuyos coeficientes son las derivadas de la función en un punto dado, pueden reemplazar a la función misma.

Casi 30 años más tarde, Colin McLaurin, explicó el teorema de una forma más amigable y calculó el "resto", es decir, la diferencia (error) cometido por usar el polinomio de Taylor en vez de la función propiamente dicha.

La ventaja es que, eligiendo adecuadamente el punto, puedo calcular las derivadas de una manera fácil, con lo que armo el polinomio por medio de una receta de cocina y ya.

Al popularizarse el método, se advirtió otra ventaja... ¡espectacular!. Cada término del polinomio de Taylor puede calcularse en base al término anterior.

Además, McLaurin no sólo calculó el resto de la serie, sino que demostró que el error cometido por cortar la serie en un término dado es menor que el primer término despreciado.

Fíjense la potencia. Hallo el término general (eso es lo complicado), luego calculo los términos uno detrás de otro, hasta que llego a un término tan chico que ya no me incide en el resultado y paro.

Así funcionan las computadoras. Por eso pueden calcular funciones trascendentes (raíces, logaritmos, funciones trigonométricas... todas son funciones trascendentes).

Les recuerdo, funciones trascendentes son aquellas que no pueden representarse por un polinomio. Son imposibles de calcular.

Pero Taylor nos da un polinomio (función sencilla si las hay) que encima se calcula repitiendo la misma fórmula una y otra vez, hasta que el valor obtenido en un paso es menor que lo que puede mostrar la pantalla y paro.

 

Cálculo de e

e es la base de los logaritmos naturales. Además de eso es uno de los cinco números "importantes" de la matemática (0,1,i,Pi,e)

 

La serie de Taylor para calcular e es: 1/0! +1/1! + 1/2! + ...

El término general es Tn = 1/n! (recuerden que factorial de cero es uno)

la suma de suficientes términos de esa serie nos da el número e = 2,718281...

 

Otras funciones

Otras funciones trascendentes importantes son las funciones trigonométricas (llamadas "funciones circulares" porque salen de analizar un círculo).

Estas funciones son muy importantes, sobre todo en el sXVIII, porque permiten encontrar la posición de un barco en un viaje largo.

Lo siguiente que se calculó fueron los logaritmos de los números.

Los logaritmos tienen la propiedad de transformar las potencias en multiplicaciones y las multiplicaciones en sumas (divisiones en restas) con lo que una buena tabla de logaritmos de las funciones circulares era importantísima para el Almirantazgo Inglés. Por eso es que las primeras tablas de logaritmos fueron desarrolladas en Inglaterra (Neper fue el primero, por eso se los llama logaritmos neperianos). Es el equivalente sXVIII al GPs.

 

¡Al fin! Pi

Hay varias formas de medir un ángulo. Está el sistema sexagésimal (que fue el que empezó todo este post) de los sumerios, el centesimal de la Revolución Francesa... y el "circular".

A alguien se le ocurrió utilizar una unidad de medida de los ángulos que fuese igual al arco de circunferencia. Esto se llama "sistema circular" o "sistema radial", en el cual el ángulo "unidad" es aquel arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Definiendolo así un cuarto de circunferencia mide Pi/2

Si mido los ángulos en radianes, basta con que sepa el radio y tengo la longitud del arco. Es radio por ángulo.

Cuando se desarrollaron las series para calcular las funciones circulares, se vió que eran mucho más simples si el ángulo se medía en sistema radial que no en cualquier otro sistema, así que las series están calculadas en él (obviamente, se puede pasar de un sistema a otro... vía Pi)

 

Así como están las funciones trigonométricas directas (seno, coseno, tangente de un ángulo) están las inversas (arco seno, arco coseno, arco tangente, es decir, el arco cuyo seno vale el valor que me suministraron).

El ángulo que normalmente designamos como de 45° (sexagesimales), en sistema radial vale Pi / 4.

La definición de tangente es cateto opuesto sobre cateto adyacente, si estoy en un triángulo rectángulo con ángulos de 45°, los catetos son iguales, así que la tangente de Pi / 4 es uno.

Así que Leibniz propuso calcular la serie "arco tangente", exactamente en 1, y multiplicar el resultado por 4.

Transcribo de la venerable Wiki la fórmula resultante.

 

Fórmula de Leibniz:

\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{{{\left(-1\right)^{{n}}} \over {2\,n+1}}}={\frac  {1}{1}}-{\frac  {1}{3}}+{\frac  {1}{5}}-{\frac  {1}{7}}+{\frac  {1}{9}}-\cdots ={\frac  {\pi }{4}}

Según encontré mientras buscaba esta fórmula (la que yo tengo está plagada de raíces cuadradas y basuras afines, pero recordaba que había una más "límpia") hoy en día se llegó al decimal número 13.300.000.000

O sea, si la órbita terrestre fuese un círculo perfecto, como la distancia Tierra-Sol es de 140.000.000.000.000 de milimetros, podríamos dar la longitud de la órbita con 13.300 decimales, menos que un átomo de margen de error...

 

¿Es necesario?

Aquí les dejo un par de valores de Pi

22/7 (3,14)

355/113, este es mi favorito, es exacto hasta la sexta decimal y, fíjense que son los números 1, 3 y 5 escritos dos veces.

Con este valor de Pi pueden calcular la órbita de la Luna con 100 metros de error. Claro, si fuese circular.

 

Saludos

 

 


Todavía no he empezado a pelear

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