Hombre y Medida en la Historia de la Arquitectura

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LuisCastaño
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Bernardo Pascual ha escrito

 En Marte, por ejemplo, echando los mismos cálculos que en la Tierra, el hombre ideal mediría 95 centímetros, pero como esta no es una medida humana, igual habría que multiplicarlo por dos, con lo que quedaría en metro noventa. La variación a la que se somete la cifra inicial, por tanto, consiste en humanizarla. Aquí todavía ando un poco perdido por lo de los sistemas de numeración, decimal, sexagesimal, etc., en cualquier caso, las dos calibraciones, 95 cm y 1´90 m, constituyen módulos marcianos, pero, aquí está la cuestión, sólo la segunda toma al hombre como medida de todas las cosas, por más que un pelín alto en este caso

 

Regla de tres entre la Tierra y Marte.

 

1´78/40.050.000 = X/21.344.000 .

X = 0´9486 m.

 

 

Fórmula que no se ni de donde la he sacado aplicada a Marte.

 

X = (21.344.000/360.000.000) 16 =  0. 9486 m.

 

¡Eureka!

Aquí de nuevo me pierdo y no sé a dónde quieres ir a parar con estos cálculos sobre Marte ni esa propuesta de un modelo de 1'90 m. Por ahora, al menos que yo sepa, sólo tenemos pruebas físicas (patrones) de un modelo de 1´80 m.

LuisCastaño
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Hartman ha escrito

Siguiendo por lo sencillo

El sistema de numeración surge espontáneamente de la operación de contar

Las relaciones geométricas complejas (como las relaciones entre figuras rectas y circulares) son para gente que está avanzada en el cálculo y la geometría

Conclusión 1: No debemos meter al círculo en la aparición del Sistema Sexagesimal, este debe preexistir al estudio de las relaciones recta-circulo.

 

La forma más simple de contar es con los dedos

Tenemos cinco dedos en cada mano.

Desde la difusión del sistema decimal estamos sesgados a contar con los diez dedos, pero anteriormente no era así, este método sólo era uno más.

Los antiguos godos contaban del 1 al 20. Esto ha sobrevivido en el francés (80 se dice "cuatro veinte") pero se abandonó por poco práctico (hay que contar con los dedos de los pies también... piensen en un invierno nevado ¿a quién se le ocurre descalzarse para contar?)

En América el patrón usual era el 5. Sobrevive entre los guaraní-parlantes. Este método es más práctico ya que uno cuenta con los dedos de una mano hasta el cinco, entonces con la otra mano cuenta uno y recomienza con la primera. Así, sin ayuda, se llega hasta "cinco manos" (de hecho, la palabra guaraní para cinco es "mano"). Hay indicios de que este sistema se usó en otros pueblos fuera de América.

En Oriente el patrón usual era el 12. Sobrevive entre los... anglo parlantes (bueno, no tan al oriente). Este método también es más práctico que contar hasta el diez. Uno cuenta las falanges de los dedos índice al meñique con el pulgar y al llegar al final, hace lo propio con la otra mano, contando las "docenas". Al llegar a la docena de docenas, se pone una piedra en un bolso. Por motivos prácticos se elige una piedra no muy pequeña y redondeada ("de río") es decir "gruesa". Una gruesa es una docena de docenas y una "masa" es una docena de gruesas.

Si se toman desarrollos en base cinco y en base doce, no se los puede transferir de un sistema a otro, porque las bases son primos entre si, es necesario recurrir a decimales periodicos, algo que exige un nivel de abstracción importante, que sólo tenemos noticias a partir de los trabajos de Tales de Mileto (s VII AC) ojo, noticias, no quiere decir que antes no se hiciera (es más, si Tales tuvo la necesidad de demostrarlo en forma rigurosa es porque ya se hacía y no había demostración "académica"). Lo más práctico es pasar a base 60, que las medidas de los que trabajan en base cinco las multipliquen por 12 y los que trabajan en base 12 multipliquen por cinco y ya.

Conclusión 2: Para que surja un sistema de numeración tan complejo y antinatural como el de base 60, es porque la gente todavía no maneja fracciones. Es decir, todavía no se ha enfrentado a problemas geométricos complejos. (Esto reafirma la Conclusión 1)

 

Una vez que tenemos sistema de numeración podemos dedicarnos a hacer geometría.

Aquí se nos presenta el estudio de la circunferencia. Ahora bien, con lo mismo que trazamos la circunferencia podemos dividirla en seis. De esto, en forma espontánea e intuitiva podemos dividir en sextos la circunferencia y después seguir estudiando sus relaciones con figuras rectas (el hexágono es la primera que surge en forma natural).

Ahora, pensemos instintivamente, olvidemos por dos minutos todo lo que estudiamos en el colegio e inventemos cómo abordar el estudio de la circunferencia. Una vez que la dividimos "naturalmente" en sextos, lo que nos aparece a todos es dividirla en diez... ¡porque contamos de diez en diez!. De modo que a personas que cuentan de a 60, lo más natural es que traten de dividir el sexto en 60 partes iguales. ¿Por qué el sexto? ¿Por qué no el cuarto o el semicírculo?. Aplicamos la metodología de LuisCastaño: debe ser simple. Estamos hablando de pastores de hace 3.000 años que están inventando la geometría ¿cómo divido el círculo en unidades enteras? Ellos no lo sabían, nosotros, después de milenios de intentos fallidos, sabemos que es imposible "la cuadratura del círculo" es decir, encontrar la relación entre una figura lineal y el perímetro del círculo con la misma unidad de medida, siempre dará con decimales (en la base de esas relaciones está Pi, con sus infinitos decimales no periodicos). Pero ellos no lo sabían, así que lo resolvieron...

Tomen un hilo, hágan un nudo por cada número (para nosotros diez, para ellos, 60), todos los nudos a la misma distancia. Tomen ese hilo, un extremo fijo en el centro y con el otro tracen un círculo. Ahora marquen en la circunferencia un punto, anclen allí un extremo del mismo hilo y con el mismo hilo tenso marquen otro punto en la circunferencia. Obtuvieron el sexto. Ahora bajen el hilo y marquen donde está cada uno de los 59 nudos (el 60 está sobre la circunferencia). Si pasan una línea entre el centro y el nudo, marcaran las divisiones correspondietes a los grados, con un error máximo del 0,5% (18 minutos de arco, como el mayor error se da en la mitad, 9 minutos).

Esto es imposible en un ángulo recto, llano u otro que se les ocurra, pero sencillo en un sexto de circunferencia.

Conclusión 3: ¿Por qué dividir la circunferencia en 360?. Simple, las herramientas disponibles hace 3.000 años no permitían otra cosa.

 

Otra cosa más.

La acepción usual de milla es "unidad de distancia", sin embargo una acepción arcaica es "jornada de viaje" (de allí el título del libro de Marco Polo "El Millón", no se refiere a un millón de cosas, sino a "La Gran Jornada" o "El Gran Viaje").

Ahora, una milla no es gran cosa en un viaje ¿por qué la importancia de la milla en relación a un viaje? ¿no será que era el ángulo más pequeño que podían medir en la época al viajar por las estrellas? ¿no se deberá a que para hacer una jornada debes estar atento a las "jornadas" que te desplazas respecto a las estrellas?

Pregunto, es una suposición mía.

Como indicio adicional, si construyo un sextante de un codo (45cm) de radio, cada minuto está a 0,25mm (un centésimo de pulgada). El ojo puede ver esta división con bastante esfuerzo (y pocos años), por debajo de la misma es virtualmente imposible (0,25mm es el espesor de 3 hojas de papel, aproximadamente), así que es bastante razonable tomarlo como unidad menor cuando se realizó la implementación práctica de medir latitudes.

Si este supuesto es cierto, desde antiguo habrán contado los pasos para relacionarlo con este desvío en el Sextante, Astrolabio o el instrumento que sea que usaran. Otra medida que aparece continuamente es el Estadio, alrededor de 180m, es decir, un décimo de milla-minuto y 100 brazas-envergadura humana.

 

Saludos

NOTA: HE EDITADO ESTE COMENTARIO PARA MAYOR CLARIDAD:

Buenas tardes, Hartman:

1/ Sobre los sistemas de numeración:

No sé muy bien qué opinar sobre esto de los sistemas de numeración. Me explico.

En distintas ocasiones se me ha dicho: "Las medidas del Hombre tienen relación con base 12" o bien "Las medidas del Hombre tienen relación con base 60". Yo personalmente creo que no.

Me explico.

Vale que esos sistemas de numeración existen y que los sumerios tenían base 60. Pero en lo que respecta al modelo humano de medidas en dicho modelo hay muchas relaciones. Muchísimas. No sólo base 12 o 60 o cualquier otra sino muchas.

Según los textos y el Canon tenemos: El Hombre son 2 Varas, 4 Codos, 6 "Pies" (de 4 Palmas), 7 Pies humanos, 8 Cabezas, 10 Rostros, 24 Palmas, 96 Dedos (o 100 Dedos, según contemos) y 400 Granos de cebada (y con esto no recojo todas las relaciones que hay. Según los textos (por ejemplo Herón) hay más relaciones pero no quiero extenderme más. 

Vamos que los sumerios tendrían numeración en base 60 pero que, a menos que me equivoque, en el modelo humano hay muchísimas relaciones que no están en base 60.  

2/ Los puntos 2 y 3 de tu comentario los dejo para más adelante. Ahora ya estoy "atascado".

Saludos.

Bernardo Pascual
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Desde: 22 Ene 2016

 Resumo mis conclusiones y termino. Te agradezco muchísimo, Luis, lo mucho que me has enseñado. La duda que te planteé en un principio, ya la tengo plenamente resuelta. Pregunté si existía una fórmula para homologar las medidas y ya la he encontrado. Espero, a la vez, haber podido aportar algo con mi interés. Este tema me ha absorbido como ningún otro.

En el caso de la Tierra, al menos, el resultado es absoluto. No requiere variaciones, pero claro está que ya en sí se trata de una fórmula que integra tales adaptaciones al patrón hombre. Una colonia humana en Marte tendría que alterarla, aunque no un marciano hecho a imagen y semejanza de Dios, es decir, como el hombre pero a escala de su propio planeta.

Quería resaltar, para acabar, que igual que yo he identificado la x con el modelo humano, también se podría sustituir por el hipotético perímetro terrestre a partir de un hombre dado, es decir, podría saber cual sería mi planeta ideal. Supongo, no obstante, que este cálculo resulta un poco absurdo, aunque no descarto que algunas civilizaciones pudiesen llegar a intentar construir un mundo a su gusto, o una mezcla de ambos. En realidad el hombre no guarda tal proporción con la Tierra, precisamente porque no existe ese hombre ideal, al menos en tamaño. Esa proporción, por lo visto, se ha ido concretando por aproximación para poder disponer de un sistema homologado de medidas.

Al principio se empleaba un sistema metrológico subjetivo, donde cada uno mensuraba su entorno en base a sí mismo. A partir de ahí, según se fue necesitando y alcanzando una mayor precisión, empezó a derivarse hacia un patrón común, el cual, a su vez, tendía a equipararse con el modelo universal, aquel que se basaba en un múltiplo del perímetro terrestre. No hizo falta medir la Tierra, sino sólo proponérselo, y ahí es en concreto donde coincidieron algunos pueblos, alejados y sin contactos entre sí, cuando, no obstante, alcanzaron un determinado y similar grado de desarrollo.

Un saludo. 

 


La democracia tiene un defecto congénito que se debe corregir desde fuera de ella: se declara la guerra cuando se es el más débil y se firma la paz cuando se es el más fuerte.

Bernardo Pascual
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Desde: 22 Ene 2016

LuisCastaño ha escrito

Aquí de nuevo me pierdo y no sé a dónde quieres ir a parar con estos cálculos sobre Marte ni esa propuesta de un modelo de 1'90 m. Por ahora, al menos que yo sepa, sólo tenemos pruebas físicas (patrones) de un modelo de 1´80 m.

 Dos milímetro no son tanto. Leonardo, en todo caso, operó con una Tierra ligeramente superior a la real, cuatrocientos veinticinco kilómetros más de Ecuador, en realidad, menos incluso de un uno por ciento de error.

 


La democracia tiene un defecto congénito que se debe corregir desde fuera de ella: se declara la guerra cuando se es el más débil y se firma la paz cuando se es el más fuerte.

Hartman
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Desde: 19 Oct 2010

LuisCastaño ha escrito

Buenas tardes, Hartman:

1/ Sobre los sistemas de numeración:

No sé muy bien qué opinar sobre esto de los sistemas de numeración. Me explico. En distintas ocasiones se me ha dicho: "Las medidas del Hombre tienen relación con base 12" o bien "Las medidas del Hombre tienen relación con base 60". Yo personalmente creo que no.

Ante todo, gracias por tu tiempo.

Mi disgresión no apunta a que las medidas del hombre tengan relación con tal o cual base, sino a que Bernardo parte de relacionar la circunferencia con la milla y no tiene claro por qué aparece el 360.

Lo que planteo es que, antes de ponerse a encontrar relaciones geométricas más o menos complicadas, el Hombre aprendió a contar, por lo que estableció un sistema de numeración en cierta base. En la zona que inventaron la Astrología/Astronomía/Trigonometría, esa base era 60.

LuisCastaño ha escrito

2/ Los puntos 2 y 3 de tu comentario los dejo para más adelante. Ahora ya estoy "atascado".

Lo que planteo es que, con las herramientas constructivas de la época, lo más práctico fue dividir la circunferencia en 360, las relaciones entre el ser Humano, la Tierra y demás aparecieron después. No puedo (no debo) utilizar tus conclusiones sobre el Canon para encontrar las relaciones circulares.

 

Saludos

 


Todavía no he empezado a pelear

  200-cruz  200-cruz 

Bernardo Pascual
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Desde: 22 Ene 2016

Hartman ha escrito

Mi disgresión no apunta a que las medidas del hombre tengan relación con tal o cual base, sino a que Bernardo parte de relacionar la circunferencia con la milla y no tiene claro por qué aparece el 360.

 Si que lo se, Hartman.

Los sumerios dividieron la circunferencia en trescientas sesenta unidades.

Si el hombre mide diez y seis unidades la proporción entre ambos será 360/16, es decir 22´5. Estos son los hombres que extendiendo sus brazos rodearían la tierra. Pero la Tierra no se mide así, sino en  varas, codos, cuartas y medias cuartas, 45 varas, 90 codos, 180 cuartas y 360 medias cuartas o grados.

Este hombre, con todo, sería gigantesco, así que lo reducimos un millón de veces. Ahora resulta 360.000.000/16.  Echa cuentas: 22.500.000 hombres rodean ahora la Tierra. Si le asignamos a la braza 1´80 m, el perímetro de la Tierra queda en, ¡tachan!, 40.500.000 m, o sea, 40.500 Km.

La reducción es arbitraria, y lo que hace es adaptar la fórmula a un patrón humano ya preestablecido. Ningún hombre mide más de tres metros ni menos de uno. Lo otro consiste en aproximarse poco a poco a las dimensiones reales de la Tierra. Los sumerios, como se deduce, ya estaban bastante cerca.

 


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Hartman
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Bernardo Pascual ha escrito

Los sumerios dividieron la circunferencia en trescientas sesenta unidades.

Si el hombre mide diez y seis unidades la proporción entre ambos será 360/16, es decir 22´5.

No te sigo.

¿De dónde salió el 16?

Bernardo Pascual ha escrito

Estos son los hombres que extendiendo sus brazos rodearían la tierra. Pero la Tierra no se mide así, sino en  varas, codos, cuartas y medias cuartas, 45 varas, 90 codos, 180 cuartas y 360 medias cuartas o grados.

¿De dónde salieron las 45 varas?

Por otro lado, las medidas deben poder aproximarse con el cuerpo (ese es el origen y de allí sus nombres), la cuarta se puede hacer con la mano ¿y la media cuarta?

Bernardo Pascual ha escrito

Este hombre, con todo, sería gigantesco, así que lo reducimos un millón de veces. Ahora resulta 360.000.000/16.  Echa cuentas: 22.500.000 hombres rodean ahora la Tierra. Si le asignamos a la braza 1´80 m, el perímetro de la Tierra queda en, ¡tachan!, 40.500.000 m, o sea, 40.500 Km.

La reducción es arbitraria, y lo que hace es adaptar la fórmula a un patrón humano ya preestablecido. Ningún hombre mide más de tres metros ni menos de uno. Lo otro consiste en aproximarse poco a poco a las dimensiones reales de la Tierra. Los sumerios, como se deduce, ya estaban bastante cerca.

Hay una arbitrariedad más, Bernardo. Siguiendo tu razonamiento hay que meter el número 1.000.000. Para nosotros es muy natural peeeroooo, no para los antiguos. Ellos contaban de a 60 o, como mínimo, por docenas.

docena = 12

Gruesa = 144

Masa = 1.728

Lo más aproximado sería cuatro gruesas de masas (nada intuitivo, como verás). En base 60 es más retorcido todavía.

 

La preocupación por medir la Tierra surge siglos más tarde, cuando hay gente dedicada al pensamiento 100% abstracto (filósofos griegos), los acadios, súmeros, elamitas, caldeos, estaban enfrentados al problema práctico de la navegación nocturna (como orientarse en el desierto sin referencias), así que su problema era, qué puedo usar para orientarme. Lo menos cambiante son las estrellas, para eso elaboro una herramienta que mide su altura sobre el horizonte y me sale un sextante primitivo. Por otro lado tengo mis medidas antropométricas, y mido cuánta distancia provoca un ángulo visible en el sextante. Allí saco el minuto de arco, relacionado con la milla, a su vez, como medida terrestre, relacionada con el Estadio.

Si sigues el razonamiento así, entonces tienes una medida terrestre que surge de proporciones humanas (el Estadio = 100 brazas) relacionado con la milla.

No hay inferencia "extraordinaria" del perímetro terrestre, sino que las unidades de medida fueron acomodadas en función del mismo.

Navaja de Ockham.

 

Saludos

 


Todavía no he empezado a pelear

  200-cruz  200-cruz 

Bernardo Pascual
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Hartman ha escrito

No te sigo.

¿De dónde salió el 16?

¿De dónde salieron las 45 varas?

Por otro lado, las medidas deben poder aproximarse con el cuerpo (ese es el origen y de allí sus nombres), la cuarta se puede hacer con la mano ¿y la media cuarta?

 

Hay una arbitrariedad más, Bernardo. Siguiendo tu razonamiento hay que meter el número 1.000.000. Para nosotros es muy natural peeeroooo, no para los antiguos. Ellos contaban de a 60 o, como mínimo, por docenas.

docena = 12

Gruesa = 144

Masa = 1.728

Lo más aproximado sería cuatro gruesas de masas (nada intuitivo, como verás). En base 60 es más retorcido todavía.

 

La preocupación por medir la Tierra surge siglos más tarde, cuando hay gente dedicada al pensamiento 100% abstracto (filósofos griegos), los acadios, súmeros, elamitas, caldeos, estaban enfrentados al problema práctico de la navegación nocturna (como orientarse en el desierto sin referencias), así que su problema era, qué puedo usar para orientarme. Lo menos cambiante son las estrellas, para eso elaboro una herramienta que mide su altura sobre el horizonte y me sale un sextante primitivo. Por otro lado tengo mis medidas antropométricas, y mido cuánta distancia provoca un ángulo visible en el sextante. Allí saco el minuto de arco, relacionado con la milla, a su vez, como medida terrestre, relacionada con el Estadio.

Si sigues el razonamiento así, entonces tienes una medida terrestre que surge de proporciones humanas (el Estadio = 100 brazas) relacionado con la milla.

No hay inferencia "extraordinaria" del perímetro terrestre, sino que las unidades de medida fueron acomodadas en función del mismo.

Navaja de Ockham.

 Te lías mucho con la nomenclatura y los sistemas numéricos, Hartman. No le des tanta importancia a eso. Como te ha dicho Luis Castaño, cada pueblo operaba en una métrica distinta y con multitud de nombres, y todos llegaron a las mismas conclusiones. Lo que se trata es de establecer una relación de proporcionalidad entre el hombre y sus partes y la Tierra o el todo. Si divides al hombre en ocho partes, la Tierra la tienes que dividir también en ocho partes, que son arcos de cuarenta y cinco grados; si lo divides en cuatro, pues igual, arcos de noventa, etc. El diez y seis viene de las medias cuartas, que en el fondo son los grados, o los dedos, o como demonios se llamen. Se equipara a la unidad básica, la parte más pequeña. Pero diciendo esto seguro que te lío más.

El caso es que si divides trescientos sesenta entre diez y seis sacas la proporción, el número de hombres necesario para rodear la Tierra. 22´5 hombres a diez y seis grados cada uno, sale 360 grados: una braza = dos varas = cuatro codos = ocho cuartas = diez y seis ¿?; o lo que es lo mismo, lo que se correlaciona con ello,  22´5, 45, 90, 180 y 360 grados: la proporción. A mí lo que menos me importa son los nombres.

La reducción a un millón (da igual en que sistema numérico la hagas, pero en este caso nosotros operamos en el decimal y se trata de una reducción potencial) es en cierto modo arbitraria, pero no lo es en cuanto que el hombre es la medida de todas las cosas. Si no haces esta reducción  o haces otra, el hombre podría medir ciento ochenta metros, o mil ochocientos, o diez y ocho mil, o diez y ocho milímetros, etc., siempre, en todo caso, múltiplos potenciales de un mismo patrón. Con todo, el problema no está en saber cuanto mide el hombre, eso siempre lo hemos sabido o podido averiguar, sino cuanto mide la Tierra. De esta manera, según nos vayamos aproximando, iremos construyendo un sistema de medidas cada vez más eficaz, cuya finalidad, por supuesto, no consiste sólo en moverse por el desierto.

Lo normal es que una persona sepa convertir sus medidas a otras más entandarizadas, por lo que pueda ocurrir; por ejemplo, que su padre lo mande a buscar una vara al monte.

Un saludo.

 


La democracia tiene un defecto congénito que se debe corregir desde fuera de ella: se declara la guerra cuando se es el más débil y se firma la paz cuando se es el más fuerte.

LuisCastaño
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Desde: 14 Feb 2015

Hola:

Al despertarme y pasarme por aquí he visto los comentarios de ambos.

Sin estar totalmente de acuerdo con ninguno de los dos (en algunos puntos discrepo con cada uno pero en otros estoy de acuerdo con cada uno) creo que del intercambio me ha venido una idea que puede ser interesante.

¿Puedo pediros que por ahora no añadáis nada más para darme tiempo de examinar la idea mañana con calma, darle forma, redactarla y subirla? Quizá entre los tres hayamos encontrado algo.

Gracias. :-)

LuisCastaño
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Desde: 14 Feb 2015

NOTA: HE EDITADO ESTE COMENTARIO PARA MAYOR CLARIDAD:

MUNDO HISTORIA. BERNARDO Y HARTMAN:

Bueno, al final he copiado todos los comentarios en un archivo de texto, trabajado sobre él y hago aquí copia y pega del mismo.

Comienzo por revisar uno a uno vuestros comentarios (expresando algunas reflexiones mías) y termino, al final del todo, con un apartado que (por ponerle un nombre) he titulado “Sobre aproximaciones” en el que comento la propuesta de Bernardo:

BERNARDO:

Resumo mis conclusiones y termino. Te agradezco muchísimo, Luis, lo mucho que me has enseñado. La duda que te planteé en un principio, ya la tengo plenamente resuelta. Pregunté si existía una fórmula para homologar las medidas y ya la he encontrado. Espero, a la vez, haber podido aportar algo con mi interés. Este tema me ha absorbido como ningún otro. En el caso de la Tierra, al menos, el resultado es absoluto. No requiere variaciones, pero claro está que ya en sí se trata de una fórmula que integra tales adaptaciones al patrón hombre. Una colonia humana en Marte tendría que alterarla, aunque no un marciano hecho a imagen y semejanza de Dios, es decir, como el hombre pero a escala de su propio planeta. Quería resaltar, para acabar, que igual que yo he identificado la x con el modelo humano, también se podría sustituir por el hipotético perímetro terrestre a partir de un hombre dado, es decir, podría saber cual sería mi planeta ideal. Supongo, no obstante, que este cálculo resulta un poco absurdo, aunque no descarto que algunas civilizaciones pudiesen llegar a intentar construir un mundo a su gusto, o una mezcla de ambos. En realidad el hombre no guarda tal proporción con la Tierra, precisamente porque no existe ese hombre ideal, al menos en tamaño. Esa proporción, por lo visto, se ha ido concretando por aproximación para poder disponer de un sistema homologado de medidas. Al principio se empleaba un sistema metrológico subjetivo, donde cada uno mensuraba su entorno en base a sí mismo. A partir de ahí, según se fue necesitando y alcanzando una mayor precisión, empezó a derivarse hacia un patrón común, el cual, a su vez, tendía a equipararse con el modelo universal, aquel que se basaba en un múltiplo del perímetro terrestre. No hizo falta medir la Tierra, sino sólo proponérselo, y ahí es en concreto donde coincidieron algunos pueblos, alejados y sin contactos entre sí, cuando, no obstante, alcanzaron un determinado y similar grado de desarrollo. Un saludo.

MIS REFLEXIONES:

Lo de Marte y tal sinceramente no me convence. Y el párrafo final (afirmado con tanta certeza) tampoco.

Yo, sinceramente, no estoy tan seguro de nada como para hacer afirmaciones de ese tipo con tanta rotundidad.

Sí creo que hay (mejor: que debieron establecer) alguna relación sencilla entre la medida del Hombre y la de la Tierra, al menos en su modelo ideal. Y lo creo por lo que digo siempre: porque sus modelos debían ser sencillos. (Que más o menos es lo que expresa más abajo también Hartman cuando cita, como hago yo tb mucho, la navaja de Ockham).

BERNARDO:

Dos milímetros no son tanto. Leonardo, en todo caso, operó con una Tierra ligeramente superior a la real, cuatrocientos veinticinco kilómetros más de Ecuador, en realidad, menos incluso de un uno por ciento de error.

MIS REFLEXIONES:

Vuelvo a la observación de mis reflexiones anteriores. Hacer afirmaciones tan tajantes sobre que Leonardo operase con un modelo de Tierra superior al real (sin aportar ninguna prueba concluyente de que así fuese) me parece temerario. Si fue así deberías aportar pruebas de ello, Bernardo. Y si no aportas pruebas de ello exprésalo como propuesta, opinión, creencia o lo que sea. Será mucho mejor.

AÑADIDO IMPORTANTE:

Esos 2 milímetros (es decir, proponer un Hombre de 1'78 m en lugar de 1'80 m) sí son tanto. Al menos en lo que se refiere a pruebas físicas de la existencia de un modelo de Hombre de 1'78 m. Y sí son tanto porque sí tenemos pruebas físicas de la existencia de un modelo de Hombre de 1'80 m (en los Patrones, en el modelo de Leo). En cambio no tenemos ninguna prueba física (al menos que yo sepa) de un modelo de Hombre de 1'78 m. 

HARTMAN:

Ante todo, gracias por tu tiempo. Mi disgresión no apunta a que las medidas del hombre tengan relación con tal o cual base, sino a que Bernardo parte de relacionar la circunferencia con la milla y no tiene claro por qué aparece el 360. Lo que planteo es que, antes de ponerse a encontrar relaciones geométricas más o menos complicadas, el Hombre aprendió a contar, por lo que estableció un sistema de numeración en cierta base. En la zona que inventaron la Astrología/Astronomía/Trigonometría, esa base era 60. (…) Lo que planteo es que, con las herramientas constructivas de la época, lo más práctico fue dividir la circunferencia en 360, las relaciones entre el ser Humano, la Tierra y demás aparecieron después. No puedo (no debo) utilizar tus conclusiones sobre el Canon para encontrar las relaciones circulares. Saludos.

MIS REFLEXIONES:

Estoy de acuerdo en que, por lo que sabemos, en Sumer el sistema de numeración era en base 60. Pero, como señalo más abajo en el apartado final (ver “Sobre aproximaciones”), los egipcios sí empleaban cifras como 100, 1.000 (…) y un millón.

Por otro lado no debemos olvidar las palabras de Mario Ruiz Morales. En su libro "Metrología Histórica en la Descripción de Egipto" nos dice: "Los caldeos, según Aquiles Tacio, decían que un hombre, marchando a paso ordinario, recorrería 30 estadios en una hora y daría la vuelta al mundo en un año de marcha continua".

O sea que parece que los caldeos ya tenían establecida una relación entre Hombre y Tierra.

En lo que si estoy de acuerdo contigo es que primero debió dividirse la circunferencia en 360 partes iguales y luego, ya más tarde, buscarse las relaciones Hombre – Tierra.

De hecho, como he explicado en un comentario anterior creo que la división de la circunferencia en 360 partes deriva del modelo humano. Una circunferencia de radio 1 Pie (+ 2 Marcas) = 25'8 cm nos da una longitud (muy muy muy cercana) a 360 Granos de cebada (x 4'5 mm) = 90 Dedos x 1'800 cm = 162 cm.

Así que en mi opinión primero se creó el sistema de medidas basado en el Hombre y luego éste se empleó para usos prácticos (Arquitectura entre otros) y medir el entorno y, quizá , la Tierra.

BERNARDO:

Si que lo se, Hartman. Los sumerios dividieron la circunferencia en trescientas sesenta unidades. Si el hombre mide diez y seis unidades la proporción entre ambos será 360/16, es decir 22´5. Estos son los hombres que extendiendo sus brazos rodearían la tierra. Pero la Tierra no se mide así, sino en varas, codos, cuartas y medias cuartas, 45 varas, 90 codos, 180 cuartas y 360 medias cuartas o grados.

Este hombre, con todo, sería gigantesco, así que lo reducimos un millón de veces. Ahora resulta 360.000.000/16. Echa cuentas: 22.500.000 hombres rodean ahora la Tierra. Si le asignamos a la braza 1´80 m, el perímetro de la Tierra queda en, ¡tachan!, 40.500.000 m, o sea, 40.500 Km.

La reducción es arbitraria, y lo que hace es adaptar la fórmula a un patrón humano ya preestablecido. Ningún hombre mide más de tres metros ni menos de uno. Lo otro consiste en aproximarse poco a poco a las dimensiones reales de la Tierra. Los sumerios, como se deduce, ya estaban bastante cerca.

MIS REFLEXIONES:

La propuesta me parece muy interesante y la examino más abajo en el apartado “Sobre aproximaciones”. Sólo que yo no haría afirmaciones tan tajantes como “Los sumerios, como se deduce, ya estaban bastante cerca.” Personalmente veo mejor presentarlo como una propuesta, al menos hasta que no se acumulen pruebas suficientes como para considerarlo demostrado.

HARTMAN:

No te sigo. ¿De dónde salió el 16? (…) ¿De dónde salieron las 45 varas? Por otro lado, las medidas deben poder aproximarse con el cuerpo (ese es el origen y de allí sus nombres), la cuarta se puede hacer con la mano ¿y la media cuarta? (…)

Hay una arbitrariedad más, Bernardo. Siguiendo tu razonamiento hay que meter el número 1.000.000. Para nosotros es muy natural peeeroooo, no para los antiguos. Ellos contaban de a 60 o, como mínimo, por docenas.

Docena = 12 Gruesa = 144 Masa = 1.728

Lo más aproximado sería cuatro gruesas de masas (nada intuitivo, como verás). En base 60 es más retorcido todavía.

La preocupación por medir la Tierra surge siglos más tarde, cuando hay gente dedicada al pensamiento 100% abstracto (filósofos griegos), los acadios, súmeros, elamitas, caldeos, estaban enfrentados al problema práctico de la navegación nocturna (como orientarse en el desierto sin referencias), así que su problema era, qué puedo usar para orientarme. Lo menos cambiante son las estrellas, para eso elaboro una herramienta que mide su altura sobre el horizonte y me sale un sextante primitivo.

Por otro lado tengo mis medidas antropométricas, y mido cuánta distancia provoca un ángulo visible en el sextante. Allí saco el minuto de arco, relacionado con la milla, a su vez, como medida terrestre, relacionada con el Estadio. Si sigues el razonamiento así, entonces tienes una medida terrestre que surge de proporciones humanas (el Estadio = 100 brazas) relacionado con la milla. No hay inferencia "extraordinaria" del perímetro terrestre, sino que las unidades de medida fueron acomodadas en función del mismo. Navaja de Ockham. Saludos.

MIS REFLEXIONES:

Como ya he señalado más arriba (y señalo de nuevo en el apartado final) por lo menos los egipcios sí contaban en 100, 1.000 (…) y 1 millón.

En cuanto a la preocupación por medir la Tierra no estoy yo tan seguro que surgiera muchos siglos más tarde con los griegos.

Recuerdo una vez más la cita de Aquiles Tacio recogida por Mario Ruiz Morales: "Los caldeos, según Aquiles Tacio, decían que un hombre, marchando a paso ordinario, recorrería 30 estadios en una hora y daría la vuelta al mundo en un año de marcha continua".

En lo que sí estoy de acuerdo es en que, puesto que tenían un sistema de medidas, sus instrumentos de medida (sextante o precedentes y otros) debían estar reglados en ese sistema de medidas.

Sobre la frase final (No hay inferencia "extraordinaria" del perímetro terrestre, sino que las unidades de medida fueron acomodadas en función del mismo. Navaja de Ockham. Saludos.) yo prefiero, por ahora, dejar la puerta abierta a ambas posibilidades (quizá porque todavía no tengo muy claro del todo que sean completamente contrarias y, por tanto, excluyentes).

BERNARDO:

Te lías mucho con la nomenclatura y los sistemas numéricos, Hartman. No le des tanta importancia a eso.

Como te ha dicho Luis Castaño, cada pueblo operaba en una métrica distinta y con multitud de nombres, y todos llegaron a las mismas conclusiones.

Lo que se trata es de establecer una relación de proporcionalidad entre el hombre y sus partes y la Tierra o el todo. Si divides al hombre en ocho partes, la Tierra la tienes que dividir también en ocho partes, que son arcos de cuarenta y cinco grados; si lo divides en cuatro, pues igual, arcos de noventa, etc. El diez y seis viene de las medias cuartas, que en el fondo son los grados, o los dedos, o como demonios se llamen.

Se equipara a la unidad básica, la parte más pequeña. Pero diciendo esto seguro que te lío más. El caso es que si divides trescientos sesenta entre diez y seis sacas la proporción, el número de hombres necesario para rodear la Tierra. 22´5 hombres a diez y seis grados cada uno, sale 360 grados: una braza = dos varas = cuatro codos = ocho cuartas = diez y seis ¿?; o lo que es lo mismo, lo que se correlaciona con ello, 22´5, 45, 90, 180 y 360 grados: la proporción.

A mí lo que menos me importa son los nombres. La reducción a un millón (da igual en que sistema numérico la hagas, pero en este caso nosotros operamos en el decimal y se trata de una reducción potencial) es en cierto modo arbitraria, pero no lo es en cuanto que el hombre es la medida de todas las cosas. Si no haces esta reducción o haces otra, el hombre podría medir ciento ochenta metros, o mil ochocientos, o diez y ocho mil, o diez y ocho milímetros, etc., siempre, en todo caso, múltiplos potenciales de un mismo patrón.

Con todo, el problema no está en saber cuanto mide el hombre, eso siempre lo hemos sabido o podido averiguar, sino cuanto mide la Tierra. De esta manera, según nos vayamos aproximando, iremos construyendo un sistema de medidas cada vez más eficaz, cuya finalidad, por supuesto, no consiste sólo en moverse por el desierto. Lo normal es que una persona sepa convertir sus medidas a otras más entandarizadas, por lo que pueda ocurrir; por ejemplo, que su padre lo mande a buscar una vara al monte. Un saludo.

MIS REFLEXIONES:

Aquí discrepo contigo en varios puntos, Bernardo.

1/ La nomenclatura sí es importante. Mucho.

Precisamente llevo 5 años desenredando problemas de nomenclatura. Son precisamente las palabras las que han provocado el enorme enredo que hay.

2/ Los sistemas numéricos sí son importantes. Mucho.

Más abajo dejo un par de enlaces sobre la numeración sumeria (60) y la egipcia (que tiene medidas como 100, 1.000 (…) y un millón).

3/ Yo no he dicho en ningún momento que cada pueblo operaba en una métrica distinta y con multitud de nombres, y todos llegaron a las mismas conclusiones.

Me sorprende que digas que yo digo eso si has escuchado mi entrevista y visto mi conferencia. Todo lo contrario.

Yo planteo que en origen hubo un modelo humano y un sistema común y que este se transmitió. Es sólo a partir (principalmente) de la Edad Media (y por culpa de diferentes confusiones en el sistema original) cuando aparecen distintos sistemas, derivados todos ellos del sistema de medidas original.

4/ Vale. Se trata de establecer una relación entre el Hombre y la Tierra.

O mejor. Se trata:

1/ De saber si ellos la establecieron.

2/ Si lo hicieron de saber cómo.

3/ Si lo hicieron de saber cuál era.

5/ Y sobre esta frase (“A mí lo que menos me importa son los nombres.”):

Opino que si queremos aportar (científicamente) claridad en este tema los nombres sí que son importantes. Muchísimo.

NOTA:

Una vez dicho todo esto paso al apartado final en el que examino la propuesta de Bernardo.

SOBRE APROXIMACIONES:

En este apartado voy a examinar la propuesta de Bernardo.

1/ Veamos primero la propuesta de Jomard:

Siguiendo la tabla de Jomard que he puesto en un comentario anterior (tabla que, como señalo, habría que revisar para verificarla o descartarla) y aplicando Hombre = 1'80 tendríamos: Circunferencia de la Tierra (CT) = 38.880 km.

2/ Bernardo, por su parte, hace la siguiente propuesta:

“Los sumerios dividieron la circunferencia en trescientas sesenta unidades. Si el hombre mide diez y seis unidades la proporción entre ambos será 360/16, es decir 22´5. Estos son los hombres que extendiendo sus brazos rodearían la tierra. Pero la Tierra no se mide así, sino en varas, codos, cuartas y medias cuartas, 45 varas, 90 codos, 180 cuartas y 360 medias cuartas o grados. Este hombre, con todo, sería gigantesco, así que lo reducimos un millón de veces. Ahora resulta 360.000.000/16. Echa cuentas: 22.500.000 hombres rodean ahora la Tierra. Si le asignamos a la braza 1´80 m, el perímetro de la Tierra queda en, ¡tachan!, 40.500.000 m, o sea, 40.500 km.”

3/ Mi opinión personal:

Bien, pues sin decir que Bernardo tenga razón creo que merece la pena examinar su propuesta porque resulta que, en mi opinión, es interesante. Me explico.

Resulta que en el Canon tenemos todo el rato un doble sistema de medidas:

En Palmas --> 4 Dedos x 1'875 cm = 7'5 cm --> 24 Palmas x 7'5 cm = 1'80 m.

En Dedos --> 96 Dedos x 1'875 cm = 1'80 m --> 100 Dedos x 1'800 cm = 1'80 m.

La diferencia está en tener en cuenta (o no) la Marca entre los Dedos: el Pelo de camello (0'75 mm) Esto es fundamental. ¿Porqué?

Porque midiendo sólo en Dedos (1'800 cm) tenemos una doble posibilidad:

El Hombre mide 96 Dedos (x 1'800 cm = 1'728 m) o 100 Dedos (x 1'800 cm = 1'80 m).

Observación para Hartman:

Midiendo sólo en Dedos (1'8 cm) salen esos valores que tú comentas más arriba:

Docena 12 Gruesa 144 Masa 1728.

El valor 12 surge de que, a menudo, se subdividían el Dedo y la Pulgada en 12 partes iguales (llamadas Líneas) y estas en 12 partes iguales (llamadas Puntos).

En cuanto a los valores 144 y 1728 pues resulta que tenemos: 80 Dedos x 1'8 cm = 144 cm y 96 Dedos x 1'8 cm = 172'8 cm (y muchas otras relaciones).

Y esto es así porque ambos sistemas de medidas (Sistema de Medidas Antiguo y Sistema Métrico Decimal: en adelante SMA y SMD) "se superponen", "coinciden", en muchos puntos.

NOTA 1:

De la existencia de ese valor de 1'728 m estoy seguro porque resulta que hay patrones que lo recogen. Los cita (sin ser consciente de lo que implican) Werner Heinz en un trabajo sobre metrología medieval.

¿Porqué esto es importante?

Porque en los textos se habla todo el rato del Hombre como 4 Codos, el Codo como 6 Palmas y la Palma como 4 Dedos. Luego siguiendo esas relaciones tenemos 96 D. De hecho en una escultura del rey Gudea aparece una representación del modelo de 96 Dedos. Se trata de una escultura en la que aparece una Regla a la que se llama Pie de Gudea. Pero esa denominación es un error. Se cree que es un Pie porque tiene 16 divisiones y como siempre se ha dicho que el Pie son 16 Dedos se cree que cada división es 1 Dedo. Pero en realidad esas 16 divisiones recogen el modelo completo de 96 Dedos dividido en 16 partes iguales ya que una de esas partes aparece dividida a su vez en 6 Partes (6 Dedos) y una de esas 6 partes en 4 (4 Granos).

O sea, resumiendo: que el Hombre sí se divide (también) en 16 partes iguales de 6 Dedos.

(Esto me lo recordó Bernardo al introducir en sus cálculos el número 16).

(Y al introducir el valor 162 me recordó que la Circunferencia de Radio = 1 Pie = 25'8 cm da una longitud (muy cercana a) de 360 Granos (x 4'5 mm) = 1620 mm = 1'62 m) 

(Conviene señalar tb que 10 Dedos x 1'8 cm = 18 cm. Esto nos da las siguientes relaciones: 90 Dedos = 360 Granos = 1'62 m y 100 Dedos = 400 Granos = 1'80 m).

NOTA 2:

La medida de 6 Dedos aparece tb recogida en el Patrón egipcio de Maya y aparece recogida mucho más tarde en textos castellanos con el nombre de Coto.

Aplicando el modelo original (con Dedo = 1'800 cm) tendríamos: Coto = 6 Dedos x 1'800 cm = 10'8 cm x 16 = 172'8 cm = 1'728 m.

Además de esto, si bien los sumerios contaban en base 60, resulta que tenemos que los egipcios sí empleaban base decimal. Los egipcios tenían números como 100, 1.000, (…) y 1 millón:

https://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_egipcia

http://sobrehistoria.com/numeracion-egipcia-y-numeros-egipcios/

Así que en mi opinión conviene examinar la propuesta de Bernardo.

Si lo hacemos tendríamos:

1/ Jomard:

Con Hombre de 1'80 m Circunferencia de la Tierra (CT) de 38.880 km.

2/ Bernardo:

Con Hombre de 1'80 m: 22'5 x 1 millón x 1'80 m = 40.500.000 m = 40.500 km.

Con Hombre de 1'728 m: 22'5 x 1 millón x 1'728 m = 38.880.000 m = 38.880 km.

3/ Mi opinión:

Resulta que el valor actualmente admitido para la CT (40.091 km según el enlace siguiente) está entre ambos valores:

https://es.wikipedia.org/wiki/Tierra#Tama.C3.B1o .

Así que no me parece descabellado pensar que usasen su sistema de medidas (ya fuese con un valor de Hombre en Palmas = 1'80 m o en Dedos = 1'728 m) para proponer primero un modelo ideal de la misma y luego intentar irse aproximando (lo más posible dentro de sus posibilidades) a la medida real de la misma.

NOTA 3

Recuerdo que en su Cosmómetro Mayora indica que hubo un califa que ordenó medir varios grados de la Tierra. Quizá el objetivo fuese afinar la medida de la misma. ¡Ojo! “Quizá”. No lo sé.

CONCLUSIÓN DE TODO ESTE LARGO COMENTARIO:

Pues por mi parte por ahora ninguna conclusión definitiva. Sólo mi sensación de que conviene tener presente la propuesta de Bernardo (por si acaso) y examinarla a ver si de ahí saliese algo.