Aclaraciones de Física y Matemática II - El Modelo del Límite

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Hartman
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Siguiendo con la temática iniciada en Aclaraciones de Física y Matemática vamos por otro tópico que aparece bastante seguido. La definición de Ciencia. Metido, claro está dentro de una aproximación al Cálculo, que en el post anterior no puse, sin pretender rigor científico, sino para que gente de formación eminentemente social tenga una idea. Algo así como “Cálculo para Dummies”, pidiendo de antemano disculpas (como en el post anterior) por un tono de “superioridad” y pedantería, pero es que asumo que a aquél que nunca le gustó el tema puede estar alejadísimo de los conceptos básicos del mismo.

Como primera medida sentemos algunos conceptos básicos, usualmente omitidos cuando estudiamos matemáticas.

Las Ciencias Matemáticas, son herramientas auxiliares de la Física, la Física está al servicio de la Ingeniería y la Ingeniería es el arte de resolver problemas… para hacer dinero.

Sólo existe un caso (conocido por mí, debe haber otras excepciones que ignore) de desarrollo matemático que no haya sido hecho por demanda de hacer dinero, y es una geometría inventada por un alumno de Gauss, en el sXIX, en la que dos rectas que se cortan definen dos puntos. Esta, aparentemente, nadería académica, fruto de una travesura de alguien sin nada mejor que hacer, terminó usándose en: Confección de mapas, Cálculo de rutas de navegación marítima y aérea y es el modelo matemático que usó Einstein en la Teoría de la Relatividad. Así que el ocio de un matemático es tan importante como su trabajo.

 

Equivalencia entre Ciencias Formales:
Las Matemáticas son varias Ciencias diferentes. Aritmética y Álgebra, trabajan con números, Geometría trabaja con líneas y puntos, sin embargo la equivalencia es tal que los cálculos se grafican y las gráficas se representan por fórmulas. Esto se llama “isomorfismo[1]”, y es debido a que, al ser Ciencias formales, aceptan el mismo tratamiento sus elementos en uno u otro campo.

Existen otras “Ciencias” formales, Ajedrez, Teoría de Decisiones, Lógica…

Así que las conclusiones a las que se arriba en una de dichas Ciencias, pueden aplicarse a la otra, con bastante soltura.

Y henos aquí con una de las implicancias más tremendas del trabajo de Gauss y sus alumnos. Podemos hacer tantas matemáticas como se nos ocurra, sólo variando el conjunto de axiomas de partida. Algunas de esas matemáticas “especiales” serán simples juegos mentales, otras, útiles herramientas para resolver problemas, serán los usuarios quienes digan qué línea de investigación vale la pena seguir. Entonces…

Podemos hacer tantas lógicas como se nos ocurra, sólo variando el conjunto de axiomas de partida. Algunas de esas lógicas “especiales” serán simples juegos mentales, otras, útiles herramientas para justificar un esquema de poder, serán los usuarios quienes digan qué línea de investigación vale la pena seguir.

 

Derivadas:
La forma más sencilla de “visualizar” una función derivada es: “la derivada de la función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto”. De aquí se sigue que “Derivada” es un concepto completamente aritmético (la derivada es una función que “se deriva” de otra función) que tiene sentido completamente geométrico. Nunca más clara la interrelación entre ambas Ciencias Formales.

Se puede demostrar que, dado un intervalo, la recta que une los extremos de la función, es paralela a la tangente de la función en un punto interior al intervalo

 

Cuando nos enseñan el concepto de Derivada nos dicen “Si tomo el valor de la función en un punto, luego su valor en otro punto suficientemente próximo y lo divido por la variación de x…”
¡Alto ahí! Lo que nos están diciendo, en forma de texto y lenguaje gris (no oscuro, pero tampoco totalmente claro) es: Si calculo la pendiente de una recta que pasa por dos puntos cercanos de la función.

“… Cuando los dos puntos se acercan tanto que se confunden en uno solo, dicho cociente es la derivada de la función”

Y, sí. Si voy acercando los dos puntos todo lo posible, el espacio que queda entre ambos es tan chico que la curva no puede distinguirse de una recta[2], entonces la pendiente de la recta que estoy calculando será igual a la de la recta tangente.

Es decir, esta definición que nos encontramos en todos los libros es poner el carro delante de los caballos. Esta definición surge del Teorema de Weierstrass y el Teorema de Weierstrass surge de analizar los máximos y mínimos de una función... utilizando derivadas

 

Límite

Antes de entrar a Derivadas se estudia el concepto de límite. El límite es un lugar que separa dos partes, puede ser accesible o inaccesible. Es como el mar cuando sirve de frontera, puede ser con “mar territorial” o puede ser “costa seca”, en un caso el mar (límite) es accesible y nos pertenece, en el otro el mar es inaccesible y no nos pertenece.

 

La Raíz Cuadrada de 2

Ya dijimos que existe un isomorfismo entre geometría y aritmética. La forma más común de dicho isomorfismo es que a los puntos de una recta hago corresponder un número, estando los puntos uniformemente espaciados. La longitud del segmento entre dos puntos es la unidad. Tengo así la “recta numérica”, donde una sucesión de puntos representa los números enteros. También puedo representar fácilmente los números racionales.

Si dibujo un cuadrado de lado 1, mido la diagonal y la proyecto en la recta numérica, ese punto no existe para los números racionales[3], es una “cortadura”. Sin embargo, yo no levanto el lápiz cuando dibujo la recta, así que el número Raíz de 2 existe, y ocupa ese lugar.

Ahora bien, las únicas operaciones que se hacer son suma, resta, multiplicación y división, así que lo único que puedo calcular son números racionales ¿cómo calculo la cortadura?

La cortadura es el mar entre dos países con costa seca.

El método de cálculo de la raíz cuadrada consiste en aproximarse consecutivamente desde arriba y desde abajo a la cortadura, tanto como podamos, eso nos da las primeras… tropecientas cifras decimales. Pero nunca el valor exacto. Puedo tomar sol en la playa, pero no me puedo bañar.

Eso es límite

Un valor al que me acerco todo lo que quiero, pero nunca puedo asumir.

¿Cómo corchos lo calculo entonces?

Acá empiezan los problemas por los que mucha gente manda las matemáticas al diablo.

El cálculo del límite, usualmente, es un problema de ingenio.

X2- 1

X  - 1

Esta función en 1 no está definida (no se puede dividir por cero), así que allí tiene un “agujero”, pero, si estuviera definida ¿cuánto valdría?

Lim       X2- 1

X1     X  - 1

 

                         X2 – 1  =  (X – 1) (X + 1)  =  X +1

        X  - 1              X - 1

Ahora paso al límite

               Lim  X + 1 = 2

X1

 

Así que el límite de la función, cuando X tiende a 1,  es 2.

Este es un ejemplo de “ingenio”, ¿cómo hago para resolver una división por cero?  Simplifico el “cero” antes de hacer la cuenta.

Lo cual es muy peligroso y puede llevarnos a resultados disparatados, pero en general, funciona.

 

El Límite y la Fenomenología

La Fenomenología no es nueva. En la antigua Grecia se la conocía como “Empirismo”. El Empirismo fue desarrollado por el filósofo Zenón, el cual, para demostrar la imposibilidad de conocer las causas de los hechos utilizaba la paradoja de “Aquiles y la Tortuga”.

 

Aquiles, el de los pies ligeros, desafió a correr a la tortuga. Como la tortuga sabía que por cada 100 pasos de Aquiles ella recorría sólo uno[4] le exigió que le dejara una ventaja. Aquiles dijo “toma mil pasos de ventaja”. Y la tortuga así lo hizo. Cuando Aquiles corría mil pasos, la tortuga había hecho 10, cuando Aquiles hizo esos 10, la tortuga ya estaba adelante… y así fue que Aquiles nunca pudo alcanzar a la tortuga”

Siguiendo con este ejemplo, el conocimiento [de las causas] no puede alcanzarse nunca, porque para conocerlo, primero debo conocer la mitad, y para conocer esa mitad, antes debo conocer la mitad de la mitad, y así sucesivamente, por lo que nunca puedo llegar nada, sólo los hechos que veo.

 

Analicemos eso matemáticamente aplicando “paso al límite”

Aquiles debe recorrer 1000 pasos más lo que recorra la tortuga, así que llamando A a la distancia recorrida por Aquiles

A = 1000 + A/100 + A/1002 +A/1003+…A/100n

Hay un truco para resolver esto, que vimos en la primaria

A        =1000 + A/100 + A/1002 +A/1003+…A/100n

A/100 =    10 +             A/1002 +A/1003+…           + A/100n+1

Si resto la segunda a la primera, tengo

A – A/100 = 990 + A/100 - A/100n+1

En el límite, cuando n tiende[5] a infinito, A/100n+1 tiende a cero, así que

A – A/100 = 990 + A/100 – 0

A – A/100 – A/100 = 990

A( 1 – 2/100) = 990

A x 0,98 = 990

A = 990 / 0,98 = 1010,2

Así que Aquiles alcanza a la tortuga cuando da 1010,2 pasos. Como los pasos se dan enteros, resulta que Aquiles pasa a la tortuga al dar 1011 pasos.

Podemos hacer lo mismo con la segunda parte de la proposición de Zenón (la mitad, de la mitad, de la mitad…) así que:

El tiempo que tardo para conocer la mitad de algo es T

Como debo conocer la mitad y la mitad y la mitad…

Tiempo total = X

X     = T + T/2 + T/4 +…+T/2n

X/2 =       T/2 + T/4 +…         +T/2n+1

X-X/2 =T-T/2n+1

En el límite, cuando n tiende a infinito, T/2n+1 tiende a cero, así que

X/2 = T

X = 2T

Es decir, que si el tiempo que tardo para conocer la mitad es T, el tiempo necesario para conocer el total es… el doble.

Lo cual es lógico y evidente… menos para los seguidores de Zenón, antiguos (Empiristas) y actuales (Escuela de la Fenomenología).

Nuevamente, a riesgo de ser pesado, vemos una interrelación entre matemáticas y lógica, debido a que ambas son ciencias formales.

 

Derivada

Ahora sí. La derivada es un límite.

         F’(x) =    lim         f(x+d) – f(x)

            d→0              d

Que, si bien tiene la forma de “dos puntos que se acercan”, en realidad es un valor calculado en un punto. Puedo utilizar alguna trampita del estilo 

X2- 1

X  - 1

donde lo que hice fue resolver la función en otro lado y luego calcularla en el punto problemático (x=1) pero, al final, siempre estoy calculando en el punto, no “en los puntos”.

Ejemplo, la derivada de X2

f’(x) = (x+d)2 – x2

                    d

         =x2 + 2x d + d2 – x2

                         d

Hago la resta

         =2x d + d2

                 d

Divido por d

         = 2x + d

Y, recién ahora, paso al límite, d = 0

f’(x) = 2x

pero fíjense que hice trampa. No use “dos puntos tan próximos que, al final, cuando uno se confunde con el otro”, porque en ese caso d hubiese sido cero, y no puedo dividir. Utilice la definición, que parece tener dos puntos, para resolver la cuenta con d distinto de cero y después calculé el límite (derivada).

 

Algunos casos de derivadas

Velocidad instantánea: es la derivada de la posición respecto al tiempo

Fuerza electromotriz(“voltaje”): es la derivada del flujo magnético respecto al tiempo (¡Ajá! Con la velocidad surgieron dudas, pero acá, nadie pone los dedos en el enchufe porque “hacen falta dos voltajes para sacar el promedio”, ahora me creen que la derivada es instantánea ¿no?)

Aceleración: derivada de la velocidad respecto al tiempo, o bien

Aceleración: derivada segunda[6] de la posición respecto al tiempo

 

Series

Una aplicación de la derivación son las series de potencias.

¿Y para qué corchos sirve una serie?

 

Funciones Algebraicas y Trascendentes.

Una función algebraica es aquella que puede representarse con una fórmula matemática.

Si la función no puede ser representada con una fórmula matemática “trasciende” el dominio del álgebra.

La función seno se define como, dado un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo es la medida del cateto opuesto a dicho ángulo  dividida la medida de la hipotenusa.

Que alguien me explique cómo meto la medida del cateto en una fórmula.

Las funciones Trascendentes son muy importantes, sobre todo las llamadas “funciones circulares”, seno, coseno, tangente, etc. porque en base a ellas podemos determinar la posición de un viajero con sólo mirar las estrellas. Caso importante para un viajero en el desierto o un buque en alta mar.

Si bien no puedo conocer la función “seno” con exactitud, hay varios métodos para armar un polinomio[7] que se le parezca lo suficiente para reemplazar los valores del seno por los de dicho polinomio.

 

Orden de contacto

Dadas dos gráficas, tangentes en un punto, puede ser que una de ellas sea una simple recta, tangente a la función en un punto ¿por qué no un círculo? ¿y una parábola? ¿un polinomio? Si visualizan la gráfica del seno (sinusoide) verán que una curva tangente puede “copiar” la sinusoide mejor que una recta.

Se define “orden de contacto de dos funciones en un punto” como la cantidad de derivadas que puedo calcular de ambas funciones cuyo valor numérico sea igual en dicho punto.

Es decir, el contacto entre una función y su recta tangente, es de primer orden

El contacto entre una función y otra cuya derivada primera y derivada segunda valgan lo mismo que las derivadas primera y segunda de la función, es de segundo orden y así siguiendo.

 

Polinomio Osculador

Un polinomio Osculador (u Osculatriz) es aquel que “copia” la forma de una función dada, con cierto “orden de contacto”. Si yo consigo armar un polinomio osculador de la función seno, podría reemplazar la función seno por este polinomio

 

Teorema de Taylor

No se asusten, no pretendo entrar en este teorema, simplemente decir que Taylor mecanizó un método para obtener polinomios osculadores del orden de contacto que se nos de la gana, para aproximar en un intervalo dado una función. Luego McLaurin calculó el error que puede llegar a cometerse por utilizar este polinomio de Taylor en vez de la función original.

Y esta es la principal utilidad de las derivadas, reemplazar por un polinomio sencillo a una función trascendente infumable.

 

Integrales

Las integrales son otros límites.

La integral de una función, gráficamente, es el área encerrada bajo la curva descripta por la función, limitando por debajo con el eje x. Para poder calcularla, divido el intervalo sobre el eje x en porciones “pequeñas” y tomo como altura el valor de la función. Con eso armo rectangulitos cuya área (base por altura) sumo. En el límite, cuando la base de estos rectángulos tiende a cero, la suma de todos ellos es el área bajo la curva.

De nuevo, todo el rollo dicho para la derivada…. La integral de una función es otra función, la integral tiene una interpretación geométrica pareja con su interpretación algebraica, la integral es un límite….

Barrow, aquel que le enseñó matemáticas a Newton, encontró que, si quiero calcular el valor de la Integral (área bajo la función), lo puedo obtener por la diferencia de la función primitiva, calculada en los dos extremos del intervalo. Esta es la llamada “Regla de Barrow”.

¿Y qué rábanos es la función primitiva?, Newton consiguió demostrar el “Teorema Fundamental del Cálculo Integral”, en el cuál se demuestra que la “función primitiva” de una función f, es aquella función que, al ser derivada, nos da como resultado precisamente la función f. Es decir, en cierta forma, la integración es la operación opuesta a la derivación.

¿La derivación les pareció complicada? La Integración es cuasi esotérica. Debemos imaginar la función que, al derivarse, da la función que estamos viendo. ¿Y si esta función es trascendente?. Bueno, podemos aplicar Taylor, representar la función trascendente por un polinomio (serie de Taylor) y luego integrar la serie…

¿Les pareció complejo? Entonces están entendiendo.

 

Hasta el próximo post

 


[1] Iso = misma, morphos = forma. Isomorfismo = Misma forma

[2] Para que se entienda: la función es una curva, si tomo un intervalo “suficientemente chico” lo considero una recta. Duelen un poco los oídos al escucharlo así, pero es lo que hacemos cotidianamente. Si queremos algo perfectamente horizontal, ponemos un balde con agua, ya que la superficie del agua “es perfectamente plana y horizontal”, sin embargo, la Tierra es redonda… y está cubierta en su mayor parte de agua. Si miro el Océano Pacífico, lo veo redondo, si miro un balde lo veo plano.

[3] Pueden buscar la demostración de la irracionalidad de la Raíz Cuadrada de 2 en Internet, está por todos lados, incluida Wikipedia

[4] Por “paso” se refiere a la distancia recorrida al dar un paso.

[5] Tiende = Se acerca tanto como podamos

[6] La derivada de la derivada, es la derivada segunda, si la derivo, obtengo la derivada tercera y así sucesivamente. Existen ciertas funciones que pueden tener infinitas derivadas, son llamadas funciones Holomorfas.

[7] Los polinomios son funciones algebraicas, además, son las funciones más sencillas que existen

 


Todavía no he empezado a pelear

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